Trasformazioni geometriche e proprietà invarianti: i punti di vista di Klein e di von Staudt

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a) in un qualunque piano proiettivo P, esiste almeno una proiettivit  tr a 
due rette che trasforma una terna ordinata di punti distinti della 
prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda; 
b) si ha l unicit  se e solo se P Ł il piano proiettivo su un campo. 
 
Per  punto di vista di von Staudt  si intende, propriamente, lo studio de i 
legami tra le propriet  di un piano proiettivo P e le propriet  del gruppo 
delle proiettivit  su una retta di P. In modo esteso, il termine  Ł stato usato 
per strutture di incidenza diverse dai piani proiettivi. Con un estensione 
ulteriore, e forse eccessiva, nella tesi useremo il termine anche nel senso 
indicato nel capoverso precedente. 
Piø in particolare, il contenuto della tesi Ł il seguente. 
I primi due capitoli riguardano il  programma di Erlangen  del Kle in. Si 
tratta di un argomento che si trova spesso esposto nei testi universitari; 
pertanto, non si Ł voluto darne una trattazione completa e si Ł preferito 
portare l attenzione su due gruppi di trasformazioni degli spazi euclidei, 
meno frequentemente citati: il gruppo delle applicazioni bilipschitziane e il 
gruppo delle trasformazioni cremoniane intere. Entrambi contengono, come 
sottogruppo, il gruppo delle affinit . 
Di conseguenza si inizia l esposizione, nel primo capitolo, analizzando 
alcune propriet  invarianti rispetto al gruppo delle affinit , con particolare 
attenzione alla propriet  che lega la misura di Lebesgue di un ins ieme alla 
suddetta collezione.  
In seguito, dopo alcuni richiami sulle applicazioni lipschitziane, si introduce 
la famiglia delle applicazioni bilipschitziane e si studia l invarianza della 
dimensione di Hausdorff di un insieme. 
Il secondo capitolo Ł dedicato alle trasformazioni cremoniane, in particolare 
alle trasformazioni cremoniane intere: alla caratterizzazione di alcune 
propriet  invarianti, segue la presentazione della  congettur a dello 
jacobiano . 
Si passa poi al  punto di vista  di von Staudt. ¨ sembrato opportuno 
incominciare con alcuni richiami di geometria proiettiva; questi 
rappresentano il contenuto del capitolo successivo: si descrivono tre diverse 
impostazioni della geometria proiettiva, a cui si fa riferimento per definire 
le proiettivit , le collineazioni e le involuzioni.  
La costruzione grafica di un involuzione permette di caratterizzare le 
quaterne armoniche: nel quarto capitolo, dopo una breve presentazione di 
carattere storico, si enuncia un risultato, noto come teorema di Staudt, che 
lega le proiettivit  alle corrispondenze staudiane, cioŁ alle corrispondenze 
biunivoche che mutano ogni quaterna armonica in una quaterna armonica. 
Il quinto capitolo Ł dedicato alla discussione di alcune propriet , 
prevalentemente topologiche, per le quali Ł possibile distinguere tra  punti 
di vista  di Klein e di von Staudt.  
A conclusione della tesi, si presentano alcune situazioni di invarianza in 
altri ambiti della Matematica, con casi particolari in cui i due punti di vista 
coincidono. 
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CAPITOLO 1 
 
 
 
In prima istanza, nell ottica del programma di Erlangen, esamineremo 
l invarianza di alcune delle piø significative propriet  di sot toinsiemi di un 
certo ambiente (che verr  specificato di volta in volta), ri spetto alle 
collezioni delle affinit  e delle applicazioni bilipschitziane, di cui le stesse 
affinit  fanno parte.  
Spunti interessanti sono forniti anche dalla teoria della misura e, per questa 
ragione, risulter  efficace presentare alcune propriet  dell e misure di 
Lebesgue e di Hausdorff, invarianti rispetto ai gruppi delle suddette 
trasformazioni. 
 
 
 
1.1 Affinit  
 
 
Def.  Si dice affinit , un applicazione  biunivoca  che pu  essere rappr esen- 
         tata con la seguente uguaglianza: 
 
         y = Ax + b        A Ł una matrice nxn con determinante non nullo, x, y e  
                                  b  sono vettori di Rn. 
 
 
Se n = 1, ogni affinit  Ł una similitudine, perchŁ si rappresenta nella forma 
y = ax + b, con rapporto di similitudine pari a |a|. 
 
Se n = 2 si ha un affinit  del piano , cioŁ una trasformazione che conserva 
le rette. 
 
Esempi di affinit  nel piano: 
 
1) Le similitudini (e le isometrie, in particolare) conservano le rette e 
sono, dunque, affinit . 
 
2) Dati una retta r, un vettore v, non parallelo ad r e k positivo, si dice 
omologia di asse r, direzione v e rapporto k la trasformazione OR,V,K 
definita da OR,V,K(P)=P se P Ł un punto di r; altrimenti OR,V,K(P)=P’, 
con P’ punto ottenuto come segue: 
si considera la retta s, passante per P e parallela a v e il punto Q di 
intersezione tra r ed s; P’ Ł il punto appartenente alla semiretta con 
origine Q passante per P, tale che d(P’, Q) = kd(P, Q). 
 
 
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Prop.  Le affinit  conservano il parallelismo tra rette, i paral lelogrammi e i  
           rapporti tra le distanze di punti allineati. 
           
 
 Data cioŁ un affinit  α , e P, Q, R punti allineati distinti, sia h tale che  
 
d(P, Q) = hd(P, R) 
 
allora i punti α (P), α (Q), α (R), che sono allineati, verificano la  condizione: 
 
d( α (P), α (Q)) = hd( α (P), α (R)). 
 
 
La propriet  di essere una curva algebrica piana Ł invariante per affinit ; si 
pu  dimostrare che si conservano anche il grado della curva, il nume ro e la 
molteplicit  delle sue componenti irriducibili. 
 
 
 
Esercizio   Si analizza come un triangolo equilatero  inscritto in una circon- 
                  ferenza, si trasforma sotto l azione di un affinit . 
 
 
Sia f un affinit : essa trasforma il triangolo ABC, inscritto nel la 
circonferenza, in un triangolo A’B’C’, inscritto in un ellisse. Il centro della 
circonferenza si trasforma nel centro dell ellisse. 
Si vuole provare che, nota l ellisse trasformata della circonferenza e fissato 
A’=f(A), il triangolo A’B’C’, trasformato di ABC, Ł determinato. 
Si costruisce la parallela r alla retta s per BC, passante per A e ivi tangente 
alla circonferenza; il segmento BC ha come punto medio M, che Ł punto 
medio anche del raggio OH (questo come conseguenza del fatto che il 
circocentro Ł anche baricentro del triangolo isoscele e le mediane risultano 
divise dal baricentro in due parti, una doppia dell altra).