Trasformazioni geometriche e proprietà invarianti: i punti di vista di Klein e di von Staudt
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- 3 - a) in un qualunque piano proiettivo P, esiste almeno una proiettivit tr a due rette che trasforma una terna ordinata di punti distinti della prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda; b) si ha l unicit se e solo se P Ł il piano proiettivo su un campo. Per punto di vista di von Staudt si intende, propriamente, lo studio de i legami tra le propriet di un piano proiettivo P e le propriet del gruppo delle proiettivit su una retta di P. In modo esteso, il termine Ł stato usato per strutture di incidenza diverse dai piani proiettivi. Con un estensione ulteriore, e forse eccessiva, nella tesi useremo il termine anche nel senso indicato nel capoverso precedente. Piø in particolare, il contenuto della tesi Ł il seguente. I primi due capitoli riguardano il programma di Erlangen del Kle in. Si tratta di un argomento che si trova spesso esposto nei testi universitari; pertanto, non si Ł voluto darne una trattazione completa e si Ł preferito portare l attenzione su due gruppi di trasformazioni degli spazi euclidei, meno frequentemente citati: il gruppo delle applicazioni bilipschitziane e il gruppo delle trasformazioni cremoniane intere. Entrambi contengono, come sottogruppo, il gruppo delle affinit . Di conseguenza si inizia l esposizione, nel primo capitolo, analizzando alcune propriet invarianti rispetto al gruppo delle affinit , con particolare attenzione alla propriet che lega la misura di Lebesgue di un ins ieme alla suddetta collezione. In seguito, dopo alcuni richiami sulle applicazioni lipschitziane, si introduce la famiglia delle applicazioni bilipschitziane e si studia l invarianza della dimensione di Hausdorff di un insieme. Il secondo capitolo Ł dedicato alle trasformazioni cremoniane, in particolare alle trasformazioni cremoniane intere: alla caratterizzazione di alcune propriet invarianti, segue la presentazione della congettur a dello jacobiano . Si passa poi al punto di vista di von Staudt. ¨ sembrato opportuno incominciare con alcuni richiami di geometria proiettiva; questi rappresentano il contenuto del capitolo successivo: si descrivono tre diverse impostazioni della geometria proiettiva, a cui si fa riferimento per definire le proiettivit , le collineazioni e le involuzioni. La costruzione grafica di un involuzione permette di caratterizzare le quaterne armoniche: nel quarto capitolo, dopo una breve presentazione di carattere storico, si enuncia un risultato, noto come teorema di Staudt, che lega le proiettivit alle corrispondenze staudiane, cioŁ alle corrispondenze biunivoche che mutano ogni quaterna armonica in una quaterna armonica. Il quinto capitolo Ł dedicato alla discussione di alcune propriet , prevalentemente topologiche, per le quali Ł possibile distinguere tra punti di vista di Klein e di von Staudt. A conclusione della tesi, si presentano alcune situazioni di invarianza in altri ambiti della Matematica, con casi particolari in cui i due punti di vista coincidono.
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Informazioni tesi
Autore: | Mattia Paganini |
Tipo: | Laurea I ciclo (triennale) |
Anno: | 2004-05 |
Università: | Università degli Studi di Pavia |
Facoltà: | Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali |
Relatore: | Marco Paolo Bernardi |
Lingua: | Italiano |
Num. pagine: | 51 |
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