Interazione elettrone-fonone in dispositivi nanoelettronici

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Introduzione 
Negli ultimi decenni abbiamo assistito ad una graduale riduzione delle 
dimensioni dei dispositivi elettronici, che hanno raggiunto scale nanometriche.  
Il processo di scalatura delle dimensioni dei dispositivi elettronici è possibile fin 
tanto che non variano le leggi fisiche alla base del funzionamento di questi 
dispositivi,poichØ ciò non comporta un cambiamento nel  modello fisico che 
approssima la realtà. Ma quando il sistema si riduce ad un numero finito di 
atomi tra loro connessi, diventano predominanti nuovi processi e comportamenti 
del materiale, che prima venivano trascurati; dunque il modello con 
approssimazione classica non è piø valido.  
Per descrivere in modo corretto i dispositivi nanometrici, è fondamentale 
considerare i processi quantistici che determinano il trasporto di carica, (come la 
quantizzazione dell’energia e degli stati elettronici permessi, il principio di 
esclusione di Pauli secondo il quale due elettroni in quanto fermioni non 
possono trovarsi nel medesimo stato, l’interazione elettrone-fonone, l’effetto 
tunnel delle cariche in quanto nella meccanica quantistica le particelle hanno 
probabilità non nulla di superare barriere di potenziale anche qualora non 
posseggano energia sufficiente) e quindi sviluppare nuovi modelli teorici che 
tengono conto di questi fenomeni quantistici.  
Per questo ci viene in aiuto il formalismo basato su funzioni di Green di non 
equilibrio (NEGF). Le funzioni di Green sono un potente strumento analitico per 
descrivere le proprietà quantomeccaniche dei dispositivi e dunque per il calcolo 
del trasporto quantistico in nano strutture; per questo motivo, iniziamo questa 
tesi con una introduzione al formalismo NEGF .  
In questo formalismo si possono imporre condizioni al contorno aperte nei 
sistemi, si hanno le informazioni sull’occupazione statistica degli stati, la densità
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spettrale è trattata in modo esatto e auto consistente, vengono fornite 
informazioni sulla popolazione degli stati .  
Attraverso la libreria libNEGF, sviluppata tra Tor Vergata e Brema, ci 
occuperemo del calcolo quantistico tramite utilizzo del formalismo NEGF.  
Nel primo capitolo si introdurranno nozioni teoriche fondamentali, come la 
Green’s Function, con la relativa definizione del propagatore di una particella , 
l'evoluzione temporale degli operatori e infine della nascita del termine di Self-
Energy dovuta all’interazione coi contatti.  
Si parlerà poi del formalismo NEGF e dei concetti ad esso correlati, 
concludendo poi con un algoritmo implementato in libNEGF per calcolare la 
densità elettronica influenzata dai contatti.  
Nel secondo capitolo si tratterà l’argomento centrale della tesi: lo scattering 
elettrone fonone. Uno degli aspetti piø importanti del trasporto di carica nei 
dispositivi nanometrici, è il controllo della dissipazione di potenza, in particolare 
il trasferimento di energia tra i portatori di carica che scorrono e le vibrazioni del 
reticolo. Infatti una frazione di cariche subisce processi di scattering anelastico, 
e ciò può portare ad eventi rilevanti come processi di riscaldamento, che si 
traduce spesso in degradazione dell'intero dispositivo. 
Per questo motivo è molto importante studiare questi processi di scattering in 
dettaglio. La maggior parte dei modelli includono l’accoppiamento elettrone-
fonone per spiegare l'interazione tra gli elettroni e la vibrazione della molecola. 
Il formalismo NEGF permette di avere informazioni anche su eventi di 
scattering che muovono elettroni tra diversi livelli energetici, permettendo il 
calcolo delle matrici di accoppiamento elettrone-fonone, assumendo una 
approssimazione armonica.  
Dunque verrà sviluppato un nuovo termine di Self-Energy oltre a quello dei 
contatti, si semplificherà l'espansione della perturbazione introducendo una 
tecnica schematica e le relative regole di Feynman.
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In questo modo, si introduce l’approssimazione di Born e si derivano le 
equazioni differenziali di Dyson.  In seguito si procederà con l’iterazione di 
Poisson per il calcolo del potenziale auto consistente. 
Nel terzo capitolo il tutto verrà applicato ai nano tubi di carbonio (CNT), 
dapprima, allo scopo di testare la libreria e il buon funzionamento delle parti 
nuove implementate, verranno fatte simulazioni esemplificative sul caso di un 
CNT metallico , usando l’approssimazione di catena 1D.  Constata la bontà della 
libreria, si passerà a simulare il caso reale di un CNT bidimensionale, in cui è 
presente una regione intrinseca tra due regioni drogate  . L’analisi del modello 
sarà concentrata sull’impatto che ha lo scattering elettrone-fonone  nella corrente 
di uscita.
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Capitolo 1 
Trasporto di carica 
1.1 Green’s Function 
Il problema di un sistema sottoposto ad una eccitazione, nota la funzione d’onda 
 , si può scrivere partendo dall’equazione di Schrödinger tempo indipendente: 
	      >	=  ħ
    >	 
Invece di concentrarci sulla funzione d’onda, guardiamo la risposta impulsiva: 
 	 ħ
  −		     ,   =    −   →  	 ħ
  −		       =      
Attraverso la trasformata di Fourier possiamo definire la funzione di Green in 
energia 
  −  	    = 	1 →     =  −  =	
1
 − 
Per ciascun sito  , definisco   come autovalore dell’Hamiltoniana  : 
    =  	
1
 −   
La Green’s function è un propagatore che a seguito di una eccitazione  
applicata nel punto  ′
, analizza la risposta impulsiva del sistema nel punto  , 
fornendo l’ampiezza di probabilità che una particella viaggi da un luogo ad un 
altro in un dato tempo. 
 −  , 	
 		  ;, 	
 = 		−
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Facendo la trasformata di Fourier della funzione di Green dipendente 
dall’energia, otteniamo la funzione di Green dipendente dal tempo. 
     =
1
2 ħ
      ∞
 ∞
 		
 ħ
 ′
  =	
1
2 ħ
 1
 −   ∞
 ∞
 		
 ħ
 ′
  
La funzione di Green ha dei poli sull’asse reale coincidenti con gli auto valori   
delle autofunzioni   . Quando l’energia  corrisponde a   (autovalore di  ), 
l’operatore ha una singolarità e ciò dà luogo ad un integrale divergente. Pertanto, 
dobbiamo pensare l’integrale nel campo complesso deformando leggermente il 
cammino sull’asse in prossimità dei poli o analogamente spostando i poli della 
funzione di Green dall’asse reale, e questo si fa aggiungendo o sottraendo ai poli 
una quantità immaginaria infinitesima. 
 
Fig. 1.1: Integrazione deformata in prossimità dei poli 
 
Consideriamo dunque la funzione di Green definita in energia in due diversi 
modi: 
     = 	 − + δ	  = 	 − − δ	  
     = 	 − − δ  = 	 − + δ  
Facendo la trasformata di Fourier , gli integrali diventano (considerando δ →
0
 ) : 
     =
1
2 ħ
 1
 −  +0
 	
 ∞
 ∞
 		
 ħ
 ′
  =	
− ħ
	   − ′
 		
  ħ
 ′
  		
  ħ
 ′