Modelli a volatilità stocastica per il prezzaggio delle opzioni call europee

In questa tesi è stato affrontato lo studio dei modelli di option pricing a volatilità stocastica. Dapprima si è fatta un’introduzione teorica del problema, sottolineando come il modello classico, quello di Black e Scholes (BS), è poco verosimile in quanto ipotizza che la volatilità del sottostante sia costante. L’effetto lampante dell’inconsistenza del modello di BS è rappresentato dall’effetto smile: se infatti si ricava la volatilità invertendo il modello di BS, e in modo tale che il prezzo della call sia quello di mercato, si nota come essa (detta implied volatility) non sia costante ma vari in funzione della moneyness.
Dunque si è enfatizzato come sono stati proposti, negli ultimi anni, dei modelli più rispondenti alla realtà. Uno dei modelli più famosi che è stato teorizzato è il modello SVSI-J (Stochastic Volatility Stochastic Interest Rate with random Jumps), in cui sia la volatilità del sottostante che il tasso di interesse sono descritti da processi stocastici, mentre i possibili “crash” del mercato sono descritti da un processo di Poisson.
Ebbene, dopo aver dipinto il quadro teorico, sono stati presentati degli esempi di simulazioni relativi al modello di BS e al modello SV-J (Stochastic Volatility with random Jumps), che sono stati implementati in matlab. Si nota come il modello SV-J descriva meglio l’andamento del sottostante rispetto al modello di BS: infatti facendo l’istogramma dei rendimenti, questo presenta una curtosi > 3 e una skewness diversa da zero, caratteristiche che vengono riscontrate in generale nei dati reali di mercato, che hanno la tendenza a non seguire una distribuzione gaussiana (che ha curtosi pari a 3 e skewness pari a 0) come ipotizza il modello di BS.
I parametri dei modelli utilizzati in queste simulazioni sono stati scelti in maniera arbitraria.
Dopo di ciò, si è proceduto al “fine tuning” del modello SV (Stochastic Volatility) sui dati dello S&P 500 del CBOE (Chicago Board of Exchange); in particolare si è prima ricavata una volatilità dai dati facendo la media giornaliera delle implied volatility trovate col modello di BS, e poi si è trovata la migliore stima dei parametri della volatilità del modello SV applicando sia il principio dei minimi quadrati che il principio di massima verosimiglianza, con risultati sostanzialmente molto simili.
Una volta trovati i parametri, si è calcolata l’implied volatility relativa al modello SV: si è notato come l’effetto smile sia risultato molto ridotto rispetto al modello di BS, prova della maggiore rispondenza alla realtà del modello a volatilità stocastica.

Infine è stata testata la capacità esplicativo-predittiva del modello SV relativamente ai prezzi delle opzioni a breve termine del triennio 1989-1991. I risultati ottenuti sono stati confortanti: il coefficiente di correlazione di Pearson tra i prezzi reali e quelli previsti dal modello è risultato superiore al 99%.