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Valuation in Incomplete Markets

Informazioni tesi

  Autore: Luca Cassani
  Tipo: Tesi di Laurea
  Anno: 2003-04
  Università: Università Commerciale Luigi Bocconi di Milano
  Facoltà: Scienze economiche statistiche e sociali
  Corso: Scienze Economiche, Statistiche e Sociali
  Relatore: Francesco Corielli
  Lingua: Inglese
  Num. pagine: 129

The goal of this thesis is to give an overview of the results and recent development in the area of pricing and hedging of contingent claims in an incomplete market. After studying the complete market and the hedging theory under these assumptions, we extend, with the martingale approach and the stochastic calculus in continuous time, the hedging problem in incomplete market. We give, through definitions and theorems (Girsanov, Kunita-Watanabe), the logical way to well understand the hedging pricing process in incomplete markets. The quadratic criterion will be our instrument and the martingale theory will be the bordered area in which we will work. In this analysis we present two different approaches to use in incomplete market. The first one is the risk-minimization approach in the case where the underlying discounted price process X is a local martingale. Than we extended this approach when X is a semimartingale and we explain the relation to the F llmer-Schweizer decomposition and the minimal martingale. The second approach is the mean-variance hedging. Another approach we will analyse is the minimal martingale measure approach. At the end we study a particular case of incompleteness, one due to information.

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III Introduction Black-Scholes model is the most celebrated example of option pricing and hedging in complete market using no arbitrage theory and martingale methods. Harrison and Kreps (1979)[HK79] studied the problem in the discrete time case, and Harrison and Pliska (1981) [HP81] and (1983) extended the results to the continuous time case. Since from these papers, the modern theory of contingent claim valuation has been developed with the mathematical foundation of Martingale and Stochastic Integrals. In these papers, the concept of market completeness is discussed at the beginning and it is shown that the market is complete if and only if its vector price process has a certain martingale representation property. In the case of complete market all contingent claims have a definite price due to the existence of a unique martingale measure and a self-financing trading strategy which replicates the pay-off of the claim. The “arbitrage-based” approach while is very useful for complete market, is usefulness for incomplete market. In such markets contingent claim typically cannot be replicated exactly using self-financing portfolios. The case in which the problem appears, are for example when the volatility of the underlying stock is stochastic, or the hypothesis of the B-S model are not satisfied. One possible approach then, is to relax the requirement that portfolios be self-financed, by requiring that the gain process is equal not to zero, but is a martingale. A portfolio with this property was called mean-self-financed by Föllmer and Sondermann (1986)[FS86]. These authors introduced this notion and then established that for any square- integrable contingent claim and discounted price processes that are martingales, there exists a portfolio whose value is almost surely equal to that of contingent claim at time T and that possesses a certain “risk-minimizing” optimality property; such a portfolio is unique and mean-self-financing. The Föllmer and Sondermann [FS86] approach was extended by Schweizer and Föllmer and Schweizer[FS89] to semimartingale processes; in these papers, mean-self-financing portfolios were characterized in terms of a stochastic functional equation, which has a solution a under the assumption that a certain minimal martingale measure exists. This measure has the property that although it turns prices into martingales, it does not otherwise change the structure of the model. Using this equivalent martingale measures, Schweizer (1992b)[S92] solved a mean-variance hedging problem in a particular incomplete

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Parole chiave

complete markets
incomplete markets
local risk minimization
martingale
mean variance hedging

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