Dal modello di Black e Scholes ai modelli GARCH: un'analisi delle opzioni sull'indice inglese FTSE 100

Lo scopo del presente lavoro è quello di analizzare alcuni dei principali modelli econometrici per l' option pricing. La caratteristica comune agli approcci trattati è l'utilizzo intensivo dei modelli condizionalmente eteroschedastici della classe GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Bollerslev (1986)) e sue estensioni. L' option pricing è un campo che ha riscosso e riscuote un sempre più forte interesse. Valutare le opzioni è compito del risk manager o degli analisti che lavorano presso grandi istituzioni finanziarie o banche d' affari. E' un settore in cui si utilizzano molti strumenti statistici e modelli matematici, che permettono di gestire il rischio e fare previsioni. Uno dei modelli matematici più utilizzato per prezzare le opzioni è il modello di Black e Scholes (1973), in cui il prezzo di un opzione call o put dipende da cinque variabili fondamentali: il prezzo del sottostante (S), il prezzo d'esercizio (K), il tasso d'interesse senza rischio (r), la scadenza dell'opzione (T) e la volatilità del sottostante (sigma). In questo lavoro vedremo in particolare cosa accade se consideriamo una struttura condizionalmente eteroschedastica per la volatilità del sottostante di un opzione, stimando vari modelli GARCH e utilizzando le previsioni della volatilità nel modello di Black e Scholes. Qui di seguito riportiamo un elenco di quello che verrà trattato nel presente lavoro:
1. Nel primo capitolo verranno presentati i modelli ARCH (Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity), GARCH e loro estensioni. In questa breve disamina mostreremo le proprietà di questi modelli, che verranno utilizzati per la volatilità del sottostante delle opzioni;
2. Nel secondo capitolo presenteremo alcune proprietà di questi strumenti finanziari, i loro payoffs e infine la relazione di parità put-call; verrà inoltre fatta una breve disamina sul funzionamento del mercato delle opzioni, in particolar modo prenderemo in esame tre mercati: il mercato italiano, quello degli Stati Uniti e infine quello del Regno Unito, che sarà poi oggetto della nostra analisi;
3. Nel terzo capitolo presenteremo il modello di Black e Scholes, mettendo in luce anche i suoi limiti che offriranno lo spunto per poter parlare di una serie di modelli alternativi al modello BS; presenteremo il modello ad hoc BS proposto da Dumas, Fleming e Whaley (1998), il modello BS con la volatilità stimata con vari modelli GARCH (Engle, Kane e Noh (1994)), infine il ``GARCH Option Pricing'' di Duan (1995) e il modello di Heston e Nandi (2000);
4. Nel quarto capitolo presenteremo le applicazioni fatte su un campione di dati: le opzioni scritte sull'indice inglese FTSE 100. I dati sono stati gentilmente concessi dal centro HERMES dell'Università di Cipro, specializzato in finanza computazionale e fondato dal premio Nobel per l'economia Markowitz. L'approccio che presenteremo è quello di Engle, Kane e Noh (1994), cioè utilizzeremo nel modello di Black e Scholes le previsioni (Out-of-Sample e In-Sample) generate da dieci modelli GARCH (ARCH, GARCH, E-GARCH, GJR-GARCH, T-GARCH, I-GARCH, NA-GARCH, AV-GARCH, AP-ARCH, ALL-GARCH) e confronteremo le performances di ogni modello nel modello BS utilizzando alcune funzioni di costo. La stima dei modelli, le statistiche e i vari grafici sono stati prodotti con i softwares MATLAB 7.6, Eviews 5.0 e R 2.9.2.