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Curve intere di Brody

Se X è una varietà complessa, una curva intera in X è una applicazione olomorfa da C in X. Uno dei vari modi per studiare le proprietà olomorfe della varietà X consiste nello studiare l’insieme delle curve intere in X. Le curve intere infatti riflettono aspetti molto profondi della geometria complessa di X. Il primo passo di un tale studio consiste nello stabilire se X ammette curve intere oltre a quelle banali (le applicazioni costanti da C a X). È noto sin dai primi tempi della teoria delle funzioni che esistono effettivamente varietà complesse in cui le sole curve intere sono quelle costanti. Il teorema di Liouville (1847) si può riformulare dicendo che ogni aperto limitato nel piano complesso ha questa proprietà. Un altro esempio classico di questo fenomeno viene fornito dal “piccolo teorema” di Picard (1879) (vedi teorema 4.9): non esistono curve intere non costanti in X = C n f0; 1g. Segue dal teorema di uniformizzazione che in ogni superficie uniformizzata dal disco le uniche curve intere sono le costanti. È sufficiente sollevare l’applicazione C ! X al rivestimento universale ed applicare il teorema di Liouville. Il piccolo teorema di Picard è un caso particolare di questo risultato molto più generale. D’altro canto è molto facile costruire curve intere non costanti in C;C#; P1(C) e in ogni curva ellittica.

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Capitolo 1 Preliminari 1.1 Lemma di Schwarz Lemma 1.1 (di Schwarz). Sia f : ! una funzione analitica tale che soddisfa f(0) = 0. Allora, per ogni z2 , jf(z)jj zj ejf 0 (0)j 1. Se jf(z)j =jzj per qualche z 6= 0, o sejf 0 (0)j = 1, allora f(z) = cz con c costante con valore assoluto 1. Dimostrazione. Per dimostrarlo utilizziamo il principio del massimo. Sia f 1 (z) = f(z) z se z6= 0 f 0 (0) se z = 0 Per come è definita f 1 è analitica. Allora sul cerchiojzj =r< 1 abbiamo jf 1 (z)j 1 r e quindi jf 1 (z)j 1 r sejzj r: Facendo tenderer a 1, troviamo chejf 1 (z)j 1 per ogniz e questo è l’asserto del lemma. Se l’uguaglianza è verificata in un singolo punto, significa che jf 1 (z)j ammette massimo locale interno e quindi per il principio del massimo f 1 (z) si riduce a una costante con valore assoluto 1. Corollario 1.1. Sia R =fz2C :jzj<Rg il disco complesso di raggio R. Sia f : R ! M tale che per un certo z 0 2 R si ha f(z 0 ) =w 0 . Allora si ha M(f(z) w 0 ) M 2 w 0 f(z) R(z z 0 ) R 2 z 0 z : 6

Laurea liv.II (specialistica)

Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Autore: Ilaria Santangeletta Contatta »

Composta da 89 pagine.

 

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Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.