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Modelli a volatilità stocastica per il prezzaggio delle opzioni call europee

Informazioni tesi

  Autore: Rocco Langone
  Tipo: Tesi di Master
Master in Calcolo Scientifico
Anno: 2010
Docente/Relatore: Giovanna Nappo
Istituito da: Università degli Studi di Roma La Sapienza
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 46

In questa tesi è stato affrontato lo studio dei modelli di option pricing a volatilità stocastica. Dapprima si è fatta un’introduzione teorica del problema, sottolineando come il modello classico, quello di Black e Scholes (BS), è poco verosimile in quanto ipotizza che la volatilità del sottostante sia costante. L’effetto lampante dell’inconsistenza del modello di BS è rappresentato dall’effetto smile: se infatti si ricava la volatilità invertendo il modello di BS, e in modo tale che il prezzo della call sia quello di mercato, si nota come essa (detta implied volatility) non sia costante ma vari in funzione della moneyness.
Dunque si è enfatizzato come sono stati proposti, negli ultimi anni, dei modelli più rispondenti alla realtà. Uno dei modelli più famosi che è stato teorizzato è il modello SVSI-J (Stochastic Volatility Stochastic Interest Rate with random Jumps), in cui sia la volatilità del sottostante che il tasso di interesse sono descritti da processi stocastici, mentre i possibili “crash” del mercato sono descritti da un processo di Poisson.
Ebbene, dopo aver dipinto il quadro teorico, sono stati presentati degli esempi di simulazioni relativi al modello di BS e al modello SV-J (Stochastic Volatility with random Jumps), che sono stati implementati in matlab. Si nota come il modello SV-J descriva meglio l’andamento del sottostante rispetto al modello di BS: infatti facendo l’istogramma dei rendimenti, questo presenta una curtosi > 3 e una skewness diversa da zero, caratteristiche che vengono riscontrate in generale nei dati reali di mercato, che hanno la tendenza a non seguire una distribuzione gaussiana (che ha curtosi pari a 3 e skewness pari a 0) come ipotizza il modello di BS.
I parametri dei modelli utilizzati in queste simulazioni sono stati scelti in maniera arbitraria.
Dopo di ciò, si è proceduto al “fine tuning” del modello SV (Stochastic Volatility) sui dati dello S&P 500 del CBOE (Chicago Board of Exchange); in particolare si è prima ricavata una volatilità dai dati facendo la media giornaliera delle implied volatility trovate col modello di BS, e poi si è trovata la migliore stima dei parametri della volatilità del modello SV applicando sia il principio dei minimi quadrati che il principio di massima verosimiglianza, con risultati sostanzialmente molto simili.
Una volta trovati i parametri, si è calcolata l’implied volatility relativa al modello SV: si è notato come l’effetto smile sia risultato molto ridotto rispetto al modello di BS, prova della maggiore rispondenza alla realtà del modello a volatilità stocastica.

Infine è stata testata la capacità esplicativo-predittiva del modello SV relativamente ai prezzi delle opzioni a breve termine del triennio 1989-1991. I risultati ottenuti sono stati confortanti: il coefficiente di correlazione di Pearson tra i prezzi reali e quelli previsti dal modello è risultato superiore al 99%.

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6 Capitolo 1 I modelli di “option pricing” 1.1 Le ipotesi di mercato Prima di passare alla descrizione dei modelli che verranno discussi di seguito, è utile accennare alle proprietà del mercato finanziario che vengono assunte come ipotesi su cui sono costruiti tali modelli. Alcuni di questi aspetti non esistono nei mercati reali, ma servono per semplificare la trattazione matematica del problema  Esiste un tipo di investimento senza rischio, detto titolo non rischioso o bond (B, del tipo reddito da interesse versato per capitale depositato su un conto corrente con un tasso di interesse pari ad r) e un titolo rischioso, S (le azioni).  I costi di transazione (spese per i cambi di valuta, acquisto o vendita di azioni o obbligazioni…) sono uguali a zero.  E’ permessa la vendita allo scoperto. Per vendita allo scoperto (o a corto) si intende quando qualcuno vende qualcosa che non possiede, vendendo oggi un titolo, impegnandosi a fornirlo domani, pur non avendolo ancora comprato oggi: ad esempio un investitore si rivolge ad un agente di cambio che prende in prestito un pacchetto di titoli dal portafoglio di un altro cliente, e una volta effettuata l’operazione che gli interessa restituirà il pacchetto, che verrà rimesso al suo posto.  Si suppone che il mercato sia privo di opportunità di arbitraggio. Si chiama arbitraggio un’operazione finanziaria che non necessita di un capitale iniziale e non può in nessun modo dare luogo ad una perdita. Vediamolo da un punto di vista matematico [13] , immaginando per semplicità che il tempo sia discreto. Se indichiamo con il termine portafoglio un insieme di titoli presi tra i d+1 presenti sul mercato (con titolo non rischioso), e con il termine strategia una sequenza di variabili aleatorie che rappresentano le quantità (numero di quote) dei vari titoli posseduti ai vari istanti di tempo, il valore del portafoglio al tempo n, ), sarà dato da:

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