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Crittografia ellittica e il Digital Sign Algorithm (DSA)

Informazioni tesi

  Autore: Dario Cottafava
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2009-10
  Università: Università degli Studi di Torino
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Fisica
  Relatore: Igor Pesando
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 53

La crittografia pubblica su curve ellittiche (ECC) è un'innovativa tipologia di crittografia a chiavi pubbliche, introdotta per la prima volta nel 1985 da Neal Koblitz e da Victor Miller. Il più grande vantaggio di questa tipologia di crittografia riguarda la sicurezza a parità di lunghezza in bit della chiave privata. Infatti a parità di sicurezza con l’RSA,le chiavi generate con l'ECC sono molto più leggere. Questo ha una conseguenza notevole, non solo in quanto a sicurezza, ma soprattutto riguardo alle possibili applicazioni: una chiave molto leggera permette di poter crittografare dati anche su dispositivi con scarsa capacità computazionale. Ad esempio una delle più grandi applicazioni è stata proprio l’utilizzo dell’ECC per le firme digitali (DSA).

La presente tesi è sviluppata in diverse parti, partendo dai concetti base di crittografia e di matematica discreta; le diverse parti sono atte ad illustrare, in maniera approfondita, tutti i concetti basilari necessari per comprendere le tecniche crittografiche a chiave pubblica da un qualunque lettore con conoscenze di analisi complessa. In definitiva può risultare utile per la didattica a studenti di una qualunque triennale in materie scientifiche. La tesi si suddivide in parti; nella prima parte vengono illustrati i concetti base di crittografia, a chiavi private e pubbliche. Nella seconda parte vi è un riepilogo dei concetti di matematica discreta, teoria dei gruppi e dei campi e di algebra modulare. Nella terza parte viene introdotto il problema del logaritmo discreto e i principali algoritmi utilizzati in crittografia: RSA, El-Gamal, DSA. Nell'ultima parte vengono definite le curve ellittiche su campi reali e finiti, e viene studiato nei dettagli l'algoritmo innovativo dell'ECDSA (Elliptic Curve Digital Sign Algorithm).

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Lo scopo di questa prima sezione e quello di illustrare alcuni dei concetti fondamentali su cui si basa la crittograa attuale. Dato che lo studio sar a indi- rizzato verso la crittograa su curve ellittiche, una delle metodologie denominate a chiave pubblica, sar a di fondamentale importanza capire la profonda dieren- za che vi e tra la crittograa a chiave pubblica, e la pi u antiquata e ineciente crittograa a chiave privata. Come prima denizione si pu o dare: Denizione 1 : la crittograa e lo studio di tecniche matematiche applicate al- la sicurezza informatica, ovvero ad applicazioni sulla riservatezza, sull’integrit a dei dati, autenticazione utenti e autenticazione dell’origine dei dati. Le funzioni crittograche sono valutate, solitamente, secondo tre caratteristiche principali: livello di sicurezza. Dicile da quanticare. Spesso si descrive a secon- da del numero di operazioni necessarie per sfondare il sistema di sicurezza, secondo il metodo pi u eciente conosciuto; ecienza. Viene quanticata a seconda del tasso di bits per secondo che la funzione pu o criptare; facilit a di implementazione. Sostanzialmente consiste nella facilit a di poter usare gli algoritmi relativi al tipo di crittograa considerato. Generalmente parlando la crittograa e basata, in particolare quella pubbli- ca, su problemi computazionali nel risolvere determinate operazioni. Parlando informalmente si dir a: Denizione 2 : un problema computazionale e facile o trattabile se pu o es- sere risolto in tempi polinomiali rispetto ai bit che compongono il numero da computare; in altre parole se esiste un algoritmo eciente in grado di risolvere il problema in tempi polinomiali. In particolare si denir a con O (f(n)) il limite massimo in tempo, per risolvere un determinato problema, o algoritmo, data la grandezza dell’input iniziale n. Quindi si pu o dare il limite generale di trattabilit a come: Denizione 3 : un algoritmo in tempi polinomiali e un algoritmo dove la fun- zione che risolve il problema, nel peggior caso necessita di un tempoO n k dove n e la grandezza in bits dell’input e k e una costante. Qualunque altro algoritmo che non pu o essere limitato da una funzione polinomiale e detto un algoritmo in tempi esponenziali. Quasi tutti gli algoritmi non polinomiali, o come appena denito, gli algoritmi esponenziali sono considerati intrattabili, e di conseguenza sicuri. 2

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Parole chiave

crittografia
dsa
cryptography
elliptic curve
digital sign algorithm
discrete number
public key criptography

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