Modelli per i mercati finanziari ed arbitraggio

6 
 
INTRODUZIONE 
 
 
Il presente lavoro si propone l’analisi della cosiddetta Teoria dell’Arbitraggio . Essa viene 
qui introdotta attraverso lo studio di alcuni modelli per i mercati finanziari, con lo scopo anche di 
considerare le sue applicazioni ai problemi di pricing - ovvero di valutazione - dei cosiddetti 
titoli derivati e di costruzione delle strategie di copertura per il rischio assunto con gli 
investimenti che ne conseguono.
1
 In effetti, tutto ciò costituisce una chiara dimostrazione della 
rilevanza e incisività di tale concetto. 
 
Ricordiamo subito cosa si intenda per strumenti finanziari derivati:
2
 si tratta di quegli 
asset il cui valore è definito sulla base di quello di un altro titolo - un’azione oppure un indice, 
una merce, un portafoglio, un’obbligazione, un altro derivato, ecc. - detto sottostante.  
Ne sono esempi tipici: le opzioni, i future, i forward, i bond, gli interest rate swap, i cap 
ed i floor ecc. . Essi sono scambiati su “mercati standardizzati” (in borsa o sui mercati 
propriamente adibiti alla loro trattazione) o su quelli “non standardizzati” (detti “fuori borsa” 
oppure “Over The Counter”). Tali titoli conferiscono – di norma – il diritto o l’obbligo di 
scambio del sottostante – a condizioni stabilite alla stipula - e possono essere sia “contratti a 
termine” che avere aspetti di “scambi a pronti”. 
 
Proprio per l’importanza delle applicazioni della Teoria dell’Arbitraggio ai derivati, tali 
asset - ed in particolare le opzioni,
3
 saranno ampiamente utilizzati nella formalizzazione di quasi 
tutti i modelli presenti nell’elaborato. 
 
Più in dettaglio, riguardo alla suddivisione degli argomenti nella presente tesi, nel primo 
capitolo – dopo aver definito specificatamente l’arbitraggio come strategia finanziaria, posto le 
ipotesi di base sui mercati
4
 ed individuato gli strumenti probabilistici fondamentali, quali la 
media condizionata ed i cosiddetti processi stocastici sul discreto – vengono formalizzati alcuni 
modelli di mercati finanziari, costruiti appunto su istanti discreti.  
 
                                                 
1
 I quali utilizzano tali titoli, anche se non in via totale. 
2
 O innovativi come spesso riportato nella letteratura. 
3
 Si veda, per le opzioni, la definizione I.6.1. 
4
 I.e. le ipotesi di mercato perfetto e di Assenza di Opportunità di Arbitraggio (AOA).
7 
 
Per primo, viene studiato il Modello Binomiale ad un Passo, nell’ambito del quale verrà 
introdotta una (misura di) probabilità, detta neutrale al rischio, utile per l’attribuzione del valore 
ad una strategia finanziaria che “replichi” un dato titolo derivato e che ha un’interessante 
interpretazione finanziaria. Di fatto, il prezzo di tale asset sarà rappresentato dal valore della 
succitata strategia replicante, secondo quanto mostrato con la regola di valutazione neutrale al 
rischio. 
 
Il medesimo capitolo prosegue con l’individuazione di portafogli per la gestione 
dell’investimento che siano prevedibili, autofinanzianti ed ammissibili, per poi introdurre la 
teoria delle Martingale ed il concetto di mercato finanziario percorribile,
5
 il che conduce 
all’enunciazione ed alla dimostrazione del Primo Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing . 
  
Successivamente, si formalizza il concetto di completezza del mercato e - con i relativi 
enunciato e dimostrazione - si presenta il Secondo Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing . In 
conclusione del capitolo in esame, si estende il modello binomiale ad un passo ad un contesto 
multiperiodale, dando luogo a quello di Cox-Ross-Rubinstein. 
 
 
Nel secondo capitolo, si verifica l’estendibilità dei risultati ottenuti nei modelli discreti, 
portandoli sul continuo. In particolare, con l’evoluzione riguardante gli istanti di intervento sul 
mercato e la teoria delle martingale ivi rielaborata, si enuncia il cosiddetto Teorema d’Arresto , in 
cui è chiaramente presente la nozione di Tempo d’Arresto , che tornerà utile più volte nel corso 
della tesi. 
 
Più specificatamente, tale parte del presente lavoro è incentrata inizialmente sullo studio 
di una specifica tipologia di processo stocastico in tempo continuo, il cosiddetto moto 
Browniano. In effetti, in tale ambito, ci si concentrerà su un importante contributo dato da 
Kiyoshi Itô
6
 che ha esteso gli strumenti nel calcolo stocastico, sviluppando ulteriormente la 
teoria introdotta dalle scuole francese, americana e russa riguardo gli integrali relativi. Proprio in 
questo contesto, è da sottolineare il risultato più importante, la formula di Itô, introdotta in tale 
capitolo sia nella sua versione “standard”
7
 che in quella multidimensionale. 
 
                                                 
5
 I.e. in AOA. 
6
 Nel periodo 1940-1953 c.a. . 
7
 Ovvero nel caso uni-dimensionale.
8 
 
La tesi prosegue, poi, con l’analisi delle equazioni differenziali stocastiche
8
 le cui 
soluzioni sono studiate attraverso la proprietà di Markov e, più esplicitamente, considerando un 
altro esempio rilevante di processo stocastico di Itô: il moto Browniano Geometrico.  
Si concluderà, poi, con l’enunciato del Teorema di Girsanov e di una proprietà sufficiente 
affinché tale risultato sia applicabile, ovvero la Condizione di Novikov. 
 
 
Il terzo capitolo propone, inizialmente, un modello di calcolo del prezzo delle opzioni, 
elaborato da L. Bachelier,
9
 per poi incentrarsi sullo studio del – ben più famoso – modello di 
Black&Scholes.
10
  
 
Si noterà – infatti – che, nonostante le conseguenze “dirette” dell’arbitraggio forniscano 
delle relazioni interessanti, esse non sono tuttavia sufficienti per ottenere sempre formule di 
prezzo; per questo sono necessari modelli che spieghino in maniera più puntuale l’evoluzione dei 
corsi. Black e Scholes - a rigore, insieme con Merton
11
 - sono stati gli studiosi che hanno 
introdotto un modello che conduce ad una formula esplicita per il prezzo di una Call e di una Put 
europee. Inoltre, viene determinata la costruzione della strategia di gestione che, sempre nel 
quadro di tale modello, permette al venditore dell’opzione di “coprirsi” perfettamente, ossia di 
eliminare totalmente il rischio o, più genericamente, di ottemperare ai suoi obblighi contrattuali, 
anche nei casi “peggiori” per lei/lui. 
 
E’ anche opportuno evidenziare che la formula ottenuta dipende principalmente da un 
parametro – non direttamente osservabile sul mercato – che la letteratura chiama “volatilità”. Di 
tale grandezza, si discute ampiamente nell’ultima parte del capitolo considerato, tramite la 
specifica delle metodologie utilizzate per la stima. In effetti – sempre in tale sezione – si 
introducono misure standard – le cosiddette greche –  per valutare la variazione del prezzo di una 
Call, in funzione dei parametri del modello. Tali misure sono utili anche per ottenere strategie di 
copertura  contro lo specifico rischio che esse evidenziano.
12
 
 
                                                 
8
 Dunque, quanto ottenuto con gli integrali stocastici verrà studiato anche nella sua cosiddetta “versione 
differenziale”. 
9
 Cfr. Bachelier L. (1900) “Théorie de la Spéculation” , Annales Scientifiques de l’École Normale Superieure, 3
e
 
série. 
10
 Cfr. Black F., Scholes M. (1973) “The pricing of Options and Corporate Liabilities” , Journal of Political 
Economy, 81. 
11
 Il  contributo di Merton ha riguardato l’ambito dei modelli con salti. 
12
 Per inciso, le greche sono utilizzabili anche per altri derivati con la stessa funzione su-indicata.
9 
 
Nel quarto capitolo, infine, si fa riferimento al Principio di Arbitraggio in generale e, in 
particolar modo, alle sue implicazioni più estese. 
 
Il Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing è qui rivisitato in una versione “ampliata” – 
pur se meno specifica. La condizione di Assenza di Opportunità di Arbitraggio, infatti, si 
dimostrerà essere equivalente sia all’esistenza di una legge lineare e positiva dei prezzi che, 
ancora, all’asserzione che per tutti gli investitori debba valere il principio “the more, the better” . 
A rigore, quest’ultimo veniva – invece – preso come assioma nel contesto dei risultati ottenuti 
nel primo capitolo. 
 
Un punto fondamentale da evidenziare consiste nell’analisi delle rappresentazioni 
alternative delle leggi lineari di valutazione. Si enuncerà, infatti, il Teorema di rappresentazione 
della legge del prezzo, il quale garantisce l’equivalenza tra l’esistenza di una legge lineare dei 
prezzi, per un aspetto, di una (misura di) probabilità neutrale al rischio, per un altro, e quella di 
una densità dei prezzi di stato, da uno ancora. 
 
In seguito, il discorso sarà focalizzato sull’arbitraggio nell’Economia Finanziaria, al fine 
di spiegare in tale contesto il ruolo dei prezzi di non-arbitraggio. Verrà individuata una classe di 
strategie finanziarie,
13
 ognuna delle quali è costruita attraverso operazioni di vendita e di 
acquisto di opzioni; proprio in tale ambito, saranno rappresentate alcune importanti relazioni 
esistenti tra i prezzi delle Call e delle Put europee,
14
 nonché tra questi e quelli delle 
corrispondenti opzioni americane.
15
 
 
Si continuerà la presentazione, formalizzando il ruolo giocato dall’informazione 
nell’ipotesi di efficienza dei mercati finanziari – intesa in tre forme differenti: debole, semi-forte, 
forte – e la sua rilevanza nel determinare se un mercato si possa considerare o meno in assenza di 
opportunità di arbitraggio.  
 
In conclusione, si introduce l’analisi del ruolo del principio di arbitraggio in un contesto 
uniperiodale, prima, e multiperiodale, poi, ma in relazione ai prezzi di stato.  
                                                 
13
 Quella dell’Arbitraggio dinamico. 
14
 I.e. la relazione “ Put-Call parity” . 
15
 I.e. “limiti inferiori e superiori per le Call e le Put” .
10 
 
Il risultato presentato è quello di verificare che la condizione di AOA è equivalente 
all’esistenza di un vettore dei succitati prezzi, tramite l’applicazione del concetto di deflattore ai 
processi di guadagno relativi ai portafogli di investimento. 
 
 
____________
11 
 
CAPITOLO I 
 
ARBITRAGGIO E MODELLI DISCRETI 
 
 
 
I.1 Opportunità di Arbitraggio 
 
Definizione 1.1 
Si chiama “Opportunità di Arbitraggio” una strategia finanziaria che permette di ottenere una 
ricchezza finale positiva, partendo da una nulla e, soprattutto, senza assumere rischi. 
Per estensione, si definisce “opportunità di arbitraggio” anche una strategia che, in almeno uno 
degli istanti di investimento, implichi un profitto positivo conseguito con certezza, a fronte di 
bilanci (almeno) nulli nelle altre date di intervento nel mercato. L’arbitraggio, infatti, non 
richiede alcun esborso di denaro e garantisce un profitto sicuro.
1
 
 
Definizione 1.2 
Se si guarda alle categorie degli investitori nei mercati finanziari, in termini generali, se ne 
individuano tre: gli hedger, gli speculatori e gli arbitraggisti. I primi sono definiti come coloro i 
quali cercano di costruire strategie di investimento che minimizzino i rischi – essi applicano, tra 
l’altro, un buon “stock picking” (scelta dei titoli) e un buon “timing” (scelta degli istanti di 
investimento). Pertanto – pur se non in via esclusiva – spesso puntano all’investimento in titoli 
che staccano dividendi. I secondi, invece, sono quelli che prediligono l’investimento 
remunerativo sotto forma di capital gain ed assumono rischi con la speranza che il mercato si 
muova nella direzione in linea con le proprie aspettative al fine di trarne profitto. Gli 
arbitraggisti, infine, rappresentano la categoria di investitori che cerca di costruire strategie di 
arbitraggio traendo profitto dai disallineamenti dei prezzi ma senza assumere rischi. 
 
Ciò premesso, risulta interessante notare come sia proprio la  presenza della terza 
categoria a rendere accettabile l’ipotesi di Assenza di Opportunità di Arbitraggio,
2
 in quanto essi 
tendono a “chiudere” un arbitraggio
3
 muovendo i corsi dei titoli verso i loro valori di equilibrio.
4
 
                                                 
1
 Corsaro S. (2008) “I titoli obbligazionari” . Dispense del corso di “Matematica Finanziaria”, Università degli Studi 
di Napoli “Parthenope” a.a. 2007/2008. 
2
 Si veda a breve nel testo per la presentazione esplicita di tale ipotesi, quindi lasciata in forma chiaramente intuitiva.
12 
 
Ipotesi 1.3 
I modelli trattati nel presente elaborato sono basati sull’ipotesi fondamentale di Assenza di 
Opportunità di Arbitraggio (AOA), ovvero essi rispondono al cosiddetto “Principio di 
Arbitraggio” secondo cui è preclusa la possibilità di effettuare appunto arbitraggi e quindi 
realizzare profitti senza che ciò comporti alcuna assunzione di rischio (e senza alcuna 
immissione di capitali).
5
 
 
Si ipotizza, inoltre: 
 
Ipotesi 1.4 
1) Non ci sono costi di transazione né imposizione fiscale; 
2) I mercati quotano di continuo o, al più, in un numero finito di istanti (ovvero sul discreto), 
sempre con t  0; 
3) Il mercato è caratterizzato da elevata liquidità, nel senso che – per ogni prezzo – ci sono 
(almeno) un compratore ed un venditore; 
4) Non c’è differenza tra prezzo di acquisto e quello di vendita, ovvero il bid-ask spread è 
nullo;
6
 
5) È possibile investire ad un tasso privo di rischio, sia nel senso di prendere a prestito che di 
prestare; 
6) I titoli sono infinitamente divisibili, ovvero è possibile trattare qualsiasi quantità di ciascun 
titolo;
7
 
7) Sono consentite le vendite allo scoperto;
8
 
8) Gli agenti massimizzano il profitto: nella scelta tra due quantità monetarie, preferiscono 
sempre il possesso di quella maggiore. 
 
 
                                                                                                                                                             
3
 “Chiudere un arbitraggio” equivale a conseguire un profitto, spesso entrando simultaneamente in transazioni su 
due o più mercati. Si veda. Hull J. C. (2008) “Options, futures and other derivatives” ', 7-th ed. Prentice Hall ed il 
precedente Hull J. C. (2002) “Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni”, Joseph L. Rotman School of 
Management – University of Toronto. 
4
 Cfr. Costa V. (2010). Note del corso di “Teoria del Rischio Finanziario”, Corso di Laurea Magistrale in 
“Economia, Management e Finanza d’Impresa”, Università degli Studi di Cassino, a.a. 2009/2010.  
5
 Corsaro S. (2008), già citato. 
6
 Le condizioni di “elevata liquidità” e “bid-ask spread nullo” implicano l’annullamento del rischio di liquidità (Cfr. 
Costa V (2010), già citato). 
7
 Per intendersi, è possibile comprare un 1/3 di un titolo. 
8
 Ovvero si possono vendere “titoli che non si possiedono”. Più esplicitamente, si dice che un investitore “vende un 
titolo allo scoperto” se prende in prestito tale titolo e lo vende sul mercato – con comprensibili aspettative ribassiste 
– per poi riacquistarlo e restituirlo.
13 
 
Definizione 1.5 
Un mercato che soddisfi le precedenti condizioni è detto “mercato perfetto” .
9
 
 
Ipotesi 1.6 
Gli agenti sono price-taker, ovvero non hanno la possibilità di influenzare – individualmente – il 
prezzo dei titoli.
10
 
 
Possiamo, a questo punto, formalizzare una conseguenza della condizione di AOA 
ponendo:  
 
Lemma 1.7 
In AOA, due strategie – A e B – che hanno lo stesso valore finale, in T, avranno medesimo 
valore in ogni istante intermedio precedente t. Ovvero: 
 
se   
 
  
 
     
 
  
 
     t  [0,T] 
 
 
Dimostrazione: 
 
Supponiamo, per assurdo, che non sia vero che   
 
  
 
,  t  [0,T],  e che valga, per esempio, 
 
 
  
 
 (l’impossibilità del verificarsi della disuguaglianza opposta si mostra in maniera 
analoga). Il nostro orizzonte temporale, dunque, è costituito da due istanti, t e T. 
 
Costruiamo la seguente strategia: 
 
 Vendiamo allo scoperto B in t; 
 Compriamo A in t. 
  
                                                 
9
 Cfr. Costa V. (2010) e Corsaro S. (2008), già citati. 
10
 Siamo nell’ottica di un “piccolo investitore”, ossia di un agente il cui intervento “non affetta i corsi” (Cfr. Costa 
V. (2010), già citato).
14 
 
Il nostro bilancio è: 
   
t T 
+  
 
 
 
–  
 
 
–  
 
 
 
+  
 
  
 0 0 
 
 
 
 
Assumendo che  
 
  
 
, abbiamo realizzato un’opportunità di arbitraggio, in contrasto con la 
condizione di AOA  
       
 
  
 
,  t       .
11
       
                                                                                                                                              
 
Ci mettiamo, ora, in condizione di avere sul mercato uno “Zero Coupon Bond” privo di 
rischio. Prendendo come “buona” quest’ottica, dimostriamo che: 
 
Lemma 1.8 
Per tale ZCB, in AOA, valgono: 
 
1)          (usando    );
12
 
2)                   ; 
3)                   . 
 
Dimostrazione: 
 
1) Vera, per ovvie considerazioni finanziarie.  
                                                 
11
 Cfr. Costa V. (2010), già citato. 
12
 N sta a rappresentare il valore nominale del bond, convenzionalmente fissato ad 1. 
dobbiamo ricomprare il titolo 
valore di A presente nel 
nostro portafoglio 
ipotesi assurda ipotesi di partenza
15 
 
 
2) Dal punto  precedente, in assenza di rischio,         . Supponiamo, per assurdo, che 
valga           . Se ciò fosse vero, avremmo però un’opportunità di arbitraggio in quanto, 
a fronte di un investimento iniziale nullo o, addirittura, negativo, giungeremmo ad un 
capitale finale positivo, senza rischio. Ciò, però, è in contrasto con l’ipotesi di AOA. 
 
 
 2) vera. 
 
3) Supponiamo, per assurdo, che           . Ricordando, sempre, che         , in questo 
caso avremmo costruito una cosiddetta “strategia suicida” , vale a dire che – se ciò fosse 
vero – perderemmo con certezza. In particolare, questo implica che una nostra controparte 
consegue dei profitti con certezza e si tratta, quindi, per lei di un’opportunità di arbitraggio 
il che è di nuovo in contrasto con l’ipotesi di AOA. 
 
 3) vera.
13
 
 
 
 
 Prendendo sempre in considerazione la presenza sul mercato di uno ZCB – privo di 
rischio – ed estendendo l’orizzonte temporale a tre istanti di investimento, t, T e T’, si può 
verificare: 
 
 
Proposizione 1.9   “Principio di Rendimento del Denaro” (B. De Finetti) 
In AOA, vale: 
                                  . 
 
 
Dimostrazione: 
 
Supponiamo, per assurdo, che                 . 
 
                                                 
13
 Cfr. Costa V. (2010), già citato.