Modelli stocastici per i tassi di interesse - Interest Rate Stochastic Models

Introduzione  
 
Nel 1973 �������� ℎ���� ���������� e ���������� ���� ℎ�������� sono gli autori di un lavoro 
dal quale si considera avviata l’era moderna dei derivati finanziari, 
merito che li ha poi insigniti del Premio Nobel per l’economia , assieme a 
������������ ������������ .        
Intitolato “�� ℎ�� �������������� ���� �������������� ������ ������������������ ���������������������� ” (si 
veda tra le fonti bibliografiche), nel loro articolo non viene solo 
individuata la prima e, ad oggi ancora utilizzata, formula di �������������� per 
titoli derivati come le opzioni, ma anche un approccio più generico, 
estendendo l’ambito applicativo della loro analisi anche ad altre 
tipologie di strumenti finanziari derivati.                
Il primo capitolo di tesi, infatti, verte su un modello ormai piuttosto 
popolare nella moderna teoria della finanza, noto come modello 
���������� &���� ℎ�������� . L’intenzione è di realizzare un primo background di 
conoscenze tali da poter comprendere anche le tematiche trattate nei 
capitoli successivi dell’elaborato. 
 
Con ���������� e ���� ℎ�������� vengono analizzati i concetti base di calcolo delle 
probabilità, quali variabile aleatoria, processo stocastico, filtrazione, 
moto browniano etc.             
Nozioni fondamentali come la misura di martingala, l’integrale e la 
formula di Itô, saranno utili anche per le successive analisi.     
A partire dalla definizione di strumento derivato vedremo come tramite 
la formula di valutazione, che i suddetti autori riportano nell’articolo 
sopracitato, sia possibile individuare in forma esplicita e sulla base di
specifici postulati, il prezzo di un’opzio ne sia �������� che ������ , di tipo 
europea.    
Tuttavia, nonostante il successo delle loro applicazioni empiriche, il 
lavoro pioneristico svolto dai suddetti autori ha inevitabilmente fatto 
emergere dei limiti, per lo più legati agli assunti di base che 
consentirebbero l’applicabilità teorica del modello, ad esempio l’ipotesi 
di volatilità costante, o di un tasso di rendimento �������� -�������� costante.                      
Il lavoro di tesi intende concentrarsi, nei successivi capitoli, proprio 
sulla modellizzazione stocastica dei tassi di interesse, in modo da 
superare il postulato del tasso di interesse costante quale fattore 
“limite” e cercare così di colmare quel gap tra teoria e pratica che 
contraddistingueva il lavoro di ���������� e ���� ℎ�������� .    
Pertanto, la finalità del secondo capitolo sarà quella di introdurre i più 
importanti concetti relativi agli strumenti finanziari oggetto di �������������� , 
ovvero gli �������� -������������ �������� (ZCB), e di studiare la loro dinamica nel 
caso in cui il tasso di interesse sia descritto da un processo stocastico.   
Non solo, sarà necessario trattare ulteriori argomentazioni, 
propedeutiche all’analisi in questione, circa la relazione tra la curva dei 
rendimenti, il tasso �������������� e �� ℎ������ .  
Nel terzo e ultimo capitolo di tesi entriamo maggiormente nel merito di 
tre specifici modelli classici, in cui sarà descritta l’aleatorietà del tasso 
di interesse e come ciò influisca sui prezzi dei relativi bond.  
Verrà difatti condotta una valutazione, cercando di arrivare a una forma 
esplicita per il prezzo del bond, per ogni modello trattato e arrivando ad 
una risoluzione in termini di equazioni differenziali ordinarie.
In particolare si prenderà a riferimento la classe di modelli con struttura 
del prezzo di tipo affine, come il caso fornito da Vašíček e se ne fornisce 
una descrizione sia analitica che concettuale per comprendere meglio i 
parametri del modello. Infine, in chiave sia matematica che concettuale, 
si proseguirà trattando la valutazione di titoli bond privi di cedole per il 
caso ������ e �������� &�� ℎ������ .     
Descritto nel 1990 da ���� ℎ�� �� .�������� e �������� �� ℎ������ , quest’ultimo modello 
risulta ancora oggi piuttosto popolare sul mercato, trovando 
applicazione anche per derivati sui tassi di interesse ed evidenziando 
come il prezzo calcolato nel modello Black & Scholes sia spesso 
eccessivo, e maggiormente man a mano che ci si avvicina alla scadenza, 
si veda a riguardo l’articolo “�������������� ���������������� -�������� -������������������ �� 
�������������������� ” J. Hull e A. White (in bibliografia).  
 
L’elaborato intende fornire una descrizione di come il modello venga 
utilizzato, tra i suoi diversi possibili contesti, per la modellizzazione dei 
tassi di interesse come Vašíček e CIR.  
 
Fine ultimo di questa tesi è di poter porre il lettore, anche meno 
“esperto”, nelle condizioni più ottimali possibili per comprendere la 
valutazione di strumenti finanziari.  
A partire dal �������� -ℎ���� imprescindibile di calcolo delle probabilità, la 
trattazione dei modelli inerenti tassi di interesse stocastici è 
subordinata allo scopo di un confronto piuttosto analitico, ma di quanta 
più immediata comprensione, per far sì che emergano vantaggi e 
svantaggi di ogni contributo teorico.
CAPITOLO 1. Il modello Black-Scholes-Merton (B-S-M) 
 
1.1 Cenni storici e intuizione del modello  
Il modello di ���������� -���� ℎ�������� -������������ , anche solo nominato come 
���������� &���� ℎ�������� , fornisce una descrizione circa l’andamento ne l tempo 
del prezzo delle azioni e di strumenti finanziari derivati, più in 
particolare delle opzioni.      
La formula dei due suddetti autori è una formula matematica per il 
prezzo di non arbitraggio di un’opzione �������� o ������ di tipo europeo, 
derivabile a partire dalle ipotesi del modello.      
�� .���������� e �� .���� ℎ�������� teorizzano nel 1973 l’equazione alla bas e della 
formula di cui sopra, basandosi sulle ricerche di due altri economisti, 
quali ������������ ������������ e �������� ������������������ .    
Il modello è definito di “non arbitraggio” dal momento che il �������������� di 
equilibrio per titoli derivati, come le opzioni, parte dall’assunto per cui 
non ci siano opportunità di arbitraggi
1
 (AOA) nel mercato. Pertanto, non 
è possibile la realizzazione di una strategia di investimento che, non 
richiedendo alcuna somma di denaro iniziale, abbia la possibilità di 
assumere un valore positivo in via prospettica, peraltro senza alcun 
rischio.  
Unitamente a questa prima ipotesi, si allegano una serie di altri 
presupposti di partenza, quali la possibilità di vendita allo scoperto del 
sottostante, che il prezzo del sottostante segua un moto browniano 
geometrico, inoltre lo strumento derivato e il suo sottostante sono 
scambiati sul mercato in tempo continuo.     
                                                             
1
 Per una definizione matematica del concetto di arbitraggio si veda in Appendice B.1.
Seguono postulati come l’assenza di costi di transazione e tassazione, o 
frizioni nel mercato di altro tipo, volatilità costante, una perfetta 
divisibilità di tutte le attività finanziarie e un tasso di interesse privo di 
rischio, (�� ), costante ed uguale per tutte le scadenze.          
Il più significativo tra gli assunti sopracitati è quello relativo alla 
volatilità, variabile in grado di misurare quanto ci si possa aspettare che 
un titolo si “muova” nel breve termine, che però, in questo caso, si 
considera costante.  
L’unione di tali ipotesi, assieme all’idea che il costo di un’opzione no n 
debba fornire alcun guadagno immediato né al venditore né 
all’acquirente, conduce alla formulazione di una serie di equazioni per il 
���������� �� �� di qualsiasi opzione.       
L’intuizione del m odello di ���������� e ���� ℎ�������� consiste nell’affermare che 
uno strumento finanziario, come un titolo derivato, è implicitamente 
prezzato se il sottostante viene scambiato sul mercato, si pensi alle 
azioni o alle valute sui relativi mercati finanziari.           
Tuttavia, come si evince dal loro stesso articolo del 1973, se le opzioni 
sono correttamente prezzate in quel mercato, non ci dovrebbero essere 
possibilità di guadagni certi tramite strategie di portafoglio, sia che si 
intenda assumere posizioni lunghe o corte su quelle opzioni e i relativi 
sottostanti.         
A partire da tale principio viene derivata una formula di valutazione 
teorica per tali strumenti finanziari, e non solo.
1.2 Definizione e proprietà del modello  
Più analiticamente, il modello considera un mercato composto da un 
titolo non rischioso, quale il bond �� , e da un altro titolo invece rischioso, 
ovvero l’azione �� .  
Il prezzo del bond verifica la seguente equazione differenziale: 
 
                                                          �� �� �� =�� �� �� ����                                          (1.1) 
dove �� è il tasso a breve privo di rischio, che si suppone essere costante.  
Il bond segue una dinamica deterministica, assumendo che al tempo �� =
0 abbia valore unitario, ovvero �� 0
=1, si ha che: 
                                                           �� �� =�� 0
 �� ����
.                                              (1.2) 
Il prezzo del titolo rischioso, invece, è un moto browniano geometrico 
che verifica la seguente equazione differenziale stocastica (SDE): 
 
                                    �� �� �� =�� �� �� ���� +�� �� �� ����
�� , �� 0
>0                          (1.3) 
 
dove �� ∈ℝ, rappresenta il tasso di rendimento atteso del titolo 
rischioso (l’azione) e �� >0 è la sua volatilità, mentre �� 0
 il prezzo al 
tempo �� =0.      
{�� �� }
�� ∈[0,�� ]
 è un moto browniano reale sullo spazio di probabilità fissato 
(Ω, Ӻ, �� , Ӻ
�� ) e la famiglia {Ӻ
�� }
�� ∈[0,�� ]
 rappresenta la filtrazione da esso 
generata. (Si veda per approfondimenti Appendice A.1 e A.4).
Il moto browniano è un particolare processo stocastico
2
, anche noto 
come processo di Wiener, il quale gode di alcune proprietà: 
i) al tempo �� =0, il moto browniano �� 0
 ha valore nullo.  
ii) le sue traiettorie sono funzioni continue del tempo, si veda la Fig.1.1 
nel paragrafo 1.3. 
iii) per ogni tempo �� >�� , l’incremento del moto browniano , �� �� −�� �� , è 
una variabile aleatoria indipendente da tutto quello che è successo fino 
al tempo �� , ovvero dalla �� -algebra Ӻ
�� .     
iv) gli incrementi del moto browniano si distribuiscono come una 
variabile aleatoria Gaussiana di media nulla, e varianza �� −�� , ossia �� �� −
�� �� ~ �� (0,�� −�� ) .     
vi) gli incrementi sono stazionari, per cui per ogni �� >�� e ℎ>0: 
�� �� −�� �� ~ �� �� +ℎ
−�� �� +ℎ
 ~ �� (0,�� −�� ) . 
 
Come conseguenza della i) e della iv) si ha che per ogni istante �� >0, la 
distribuzione del processo al tempo �� è Gaussiana di media zero e 
varianza �� :   
�� �� −�� 0
=�� �� ~ �� (0,�� ). 
Vediamo ora come dare una motivazione all’equazione (1.3). 
Rapportando entrambi dell’equazione rispetto al prezzo dell’azione , �� �� , 
se ne ricava il rendimento lungo un intervallo ���� infinitesimale, ovvero:       
        
  
����
�� �� �� =
�� �� (�� ���� +�� ����
�� )
�� �� =�� ���� +�� ����
��  
                                                             
2
 Un processo stocastico può essere utilizzato per descrivere un fenomeno aleatorio che evolve nel 
tempo, possiamo interpretare la v.a. �� �� in ℝ
+
come il prezzo di un titolo rischioso al tempo �� .
dove il primo termine �� ���� è deterministico, mentre il secondo 
rappresenta la componente stocastica. Quest’ultima , �� ����
�� , è descritta 
attraverso il moto browniano e ha distribuzione �� (0,�� 2
�� ).     
Dal punto di vista matematico il significato della SDE indicata in (1.3) 
deve essere ricondotto alla sua espressione integrale:     
                        �� �� = �� 0
+ ∫�� �� �� ����
�� 0
+∫�� �� �� �� 0
�� �� ��           �� ∈[0,�� ] 
ove l’integrale rispetto al moto browniano è stato definito da Itô e di cui 
daremo un breve cenno della costruzione nel paragrafo 1.3.   
Sempre nel paragrafo 1.3 vedremo che è possibile calcolare in modo 
esplicito la soluzione della SDE in (1.3), ∀ �� ≥0  
 
                                               �� �� =�� 0
 �� �� �� �� 
+ (�� − 
�� 2
2
)��                                       (1.4) 
 
e osserviamo che la struttura esponenziale del prezzo garantisce la sua 
non negatività.        
Osservazione 1.1. Benché Bachelier fu il primo a introdurre il moto 
browniano per descrivere la dinamica del prezzo di titoli, il merito del 
modello di tipo geometrico è stato attribuito, a ������������������ per poi 
essere utilizzato da ���������� e ���� ℎ�������� . Essendo un esponenziale, il moto 
browniano geometrico �� �� , è un processo strettamente positivo se �� 0
>
0, con una densità con supporto in [0,+∞[ e strettamente positiva su 
]0,+∞[.
Il prezzo al tempo �� dell’azione è una variabile aleatoria (v.a.)
3
 e il suo 
valore atteso è dato da 
                                                      �� [�� �� ]=�� 0
 �� ����
                                              (1.5) 
ossia �� rappresenta il tasso istantaneo di rendimento del titolo.  
Dimostreremo in seguito questo risultato tramite la teoria delle 
martingale, si veda la Proposizione (1.3).         
Osservazione 1.2. Nel caso di volatilità nulla �� =0, la dinamica (1.3) si 
riduce all’equazione differenziale ord inaria  
�� �� �� =�� �� �� ���� ,     �� 0
>0  
la cui soluzione (deterministica) è data da �� �� =�� 0
 �� ����
, e corrisponde alla 
legge di capitalizzazione continuamente composta con tasso �� .  
 
Andiamo ora a vedere alcune proprietà del modello.  
1. Distribuzione normale del rendimento logaritmico dell’azione. 
A partire dalla formula del prezzo dell’azione , è possibile ricavarne il 
rendimento logaritmico andando a dividere entrambi i membri per il 
prezzo odierno, o valore noto dell’asset, ottenendo cos ì:          
�� �� �� 0
=�� �� �� ��  
+ (�� − 
�� 2
2
)�� 
calcolandone il logaritmo ad entrambi membri: 
                                         ������ (
�� �� �� 0
)=�� �� �� +(�� − 
�� 2
2
)��                               (1.6) 
                                                             
3
 Per una descrizione analitica del concetto di variabile aleatoria si veda in Appendice A.2.
il quale possiamo porre, per semplicità, pari a �� �� , ovvero il rendimento 
logaritmico del titolo rischioso.     
Dal momento che il moto browniano �� �� si distribuisce come una 
normale con media 0 e varianza �� , ne deriva che anche il rendimento 
logaritmico �� �� avrà distribuzione normale, con media (�� − 
�� 2
2
)�� , e 
varianza �� 2
�� .   
Ne consegue che all’aumentare della volati lità crescerà la varianza di �� �� , 
e l’azione risulterà molto rischiosa.          
2. Indipendenza dei rendimenti dell’azione relativi a inte rvalli di 
tempo disgiunti.     
Questa proprietà segue dal fatto che il moto browniano ha incrementi 
indipendenti. Pertanto, l’incremento di 
(�� �� 
− �� �� )
�� �� 
⁄ su [�� ,�� ] sarà 
indipendente da quello di 
(�� �� 
− �� �� )
�� �� ⁄ su un altro intervallo di 
tempo, del tipo [�� ,�� ], infatti    
(�� �� 
− �� �� )
�� �� ⁄ =
�� �� �� �� −1=
�� 0
 �� �� �� ��  
+ (�� − 
�� 2
2
)�� �� 0
 �� �� �� ��  
+ (�� − 
�� 2
2
)�� ⁄ −1= 
=
�� �� �� ��  
+ (�� − 
�� 2
2
)�� �� �� �� ��  
+ (�� − 
�� 2
2
)�� −1=�� �� (�� �� −�� �� ) + (�� − 
�� 2
2
)(�� −�� )
−1. 
 
Si ottiene così che il rendimento del titolo rischioso sull’intervallo [�� ,�� ] 
dipende unicamente dall’incremento �� �� −�� �� e, analogamente, quello 
sull’intervallo [�� ,�� ] da �� �� −�� �� ; ed essendo questi due incrementi 
indipendenti segue l’indipendenza dei rendimenti dell’azione.