Questo sito utilizza cookie di terze parti per inviarti pubblicità in linea con le tue preferenze. Se vuoi saperne di più clicca QUI 
Chiudendo questo banner, scorrendo questa pagina, cliccando su un link o proseguendo la navigazione in altra maniera, acconsenti all'uso dei cookie. OK

Le equazioni differenziali in biologia

Laurea liv.I

Facoltà: Scienze e Tecnologie

Autore: Mauro Bacaloni Contatta »

Composta da 57 pagine.

 

Questa tesi ha raggiunto 54 click dal 14/03/2018.

Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.

 

 

Estratto della Tesi di Mauro Bacaloni

Mostra/Nascondi contenuto.
CAPITOLO 1. CENNI TEORICI 11 Denizione 1.5 (Sistema dinamico liscio). Un sistema dinamico liscio e una funzione continua e dierenziabile :R R 2 !R 2 , dove (t;X) = t (X) e tale da soddisfare 1. 0 e la funzione identit a, 0 (X 0 ) =X 0 ; 2. la composizione t s = t+s 8t;s2R. Non avendo pi u le ipotesi di sistema planare lineare, dato un sistema non solo non siamo in grado di determinare la soluzione analitica, ma dobbiamo prima accertarci che tale soluzione esista. Infatti se le funzioni che determinano il sistema non hanno determinate caratteristiche potremmo trovarci di fronte a sistemi con nessuna (o peggio innite) soluzioni! Vediamo quindi un primo teorema utile per sistemi autonomi: Teorema 1.3 (Teorema di esistenza ed unicit a locale) . Si consideri il problema di Cauchy X 0 =F (X) X(t 0 ) =X 0 con X 0 2R 2 . Sia inoltre F2 C 1 . Allora esiste una soluzione con quel valore iniziale. Inoltre tale soluzione e unica. Pi u precisamente esiste una costante > 0 ed un’unica soluzione X : (t 0 ;t 0 + )!R 2 del sistema che soddis la condizione iniziale X(t 0 ) =X 0 . Ci chiediamo ora cosa accade se confrontiamo due soluzioni con condizioni iniziali abbastanza vicine. Quello che ci aspettiamo in prossimit a del dato iniziale e che le soluzioni restino abbastanza vicine, mentre a lungo tempo (cio e per t sucientemente maggiore dit 0 ) le due soluzioni si potrebbero allontanare ma in un modo non pi u veloce di un esponenziale. Tutto ci o e garantito dal seguente teorema: Teorema 1.4. Sia data l’equazione dierenziale X 0 =F (X) conF :R 2 !R 2 eF2C 1 . Sia inoltre X(t) una soluzione denita su un intervallo chiuso [t 0 ;t 1 ] e che verichi la condizione iniziale X(t 0 ) = X 0 . Allora esiste U R 2 intorno di X 0 ed esiste una costante K tale che, se Y 0 2U allora esiste un’unica soluzione Y (t) denita sullo stesso intervallo chiuso e limitato con Y (t 0 ) =Y 0 e che inoltre verichi jY (t) X(t)j KjY 0 X 0 je K(t t 0 ) 8t2 [t 0 ;t 1 ]: Questo teorema e fondamentale per il suo corollario pi u importante: Corollario 1.4.1 (Dipendenza continua dai dati iniziali). Sia (t;X) il usso dell’e- quazione dierenziale X 0 =F (X) con F2C 1 . Allora e una funzione continua nella variabile X. Nonostante i risultati appena visti, non siamo ancora in grado di ottenere informa- zioni sucienti su un sistema dinamico. Per risolvere tale problema, introduciamo una famiglia A(t) di matrici quadrate 2 2 che dipendano in modo continuo dal tempo. Allora, il sistema X 0 = A(t)X e un sistema lineare non autonomo. Abbiamo per o il teorema di esistenza ed unicit a anche per questo tipo di equazioni:
Estratto dalla tesi: Le equazioni differenziali in biologia