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Valuation in Incomplete Markets

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9 , 1 1 ,0,...,0 , c AA uu u uu Y Μ ∴ [ Μ ∴ Ε Ω ↑ ° → ° ↓ u uT Ω Ω δ δ The idea here is to use Μ and ∴ to construct a self-financing strategy with zero initial investment (hence use their difference [) and put any gains at time Ωin the savings account (i.e. invest them risk-free) up to time T. We need to show formally that [satisfies the conditions of an arbitrage opportunity. By construction [is predictable and the self-financing condition is clearly true for t Ω ζ, and for t Ω we have using that ,Μ ∴ ) ,SSVV Μ ∴ [ Ω Ω Μ Ω ∴ Ω Ω Ω Ω 0 1111 1 c AA YS [ Ω Ω Μ Ω ∴ Ω Ω Ε Ω Ω 1 c SVV Μ ∴ Μ Ω ∴ Ω Ω Ω Ω Ε Ω Ε Ω .VV Μ ∴ Ω Ω Comparing these two, [ is self-financing, and its initial value is zero. Also 1 1 ,0,...,0 c A A VT T T ST Y ST [ Μ ∴ Ε Ω The first term is zero, as VT VT Μ ∴ . The second term is 0 10 A YST Ε Ω τ As Y>0 on A, and indeed ⊥  ⊥  00PV T P A [ ! !. Hence the market contains an arbitrage opportunity with respect to the class ) of self- financing strategies. But this contradicts the assumption that the market M is arbitrage-free. This uniqueness property allows us now to define the important concept of an arbitrage price process. Definition (1.3.2.) Suppose the market is arbitrage-free. Let X be any attainable contingent claim with time T maturity. Then the arbitrage price process X t Σ , 0 tTδ δor simply arbitrage price of X is given by the value process of any replicating strategy Μfor X .

Anteprima della Tesi di Luca Cassani

Anteprima della tesi: Valuation in Incomplete Markets, Pagina 11

Tesi di Laurea

Facoltà: Scienze economiche statistiche e sociali

Autore: Luca Cassani Contatta »

Composta da 129 pagine.

 

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Disponibile in PDF, la consultazione è esclusivamente in formato digitale.