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Geometria generalizzata e Modelli Sigma Non Lineari

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Anteprima della tesi: Geometria generalizzata e Modelli Sigma Non Lineari, Pagina 4
1. MODELLI σ NON LINEARI E GEOMETRIA
dinate ϕi, o il prodotto diretto di uno spazio riemanniano con uno spazio di
qualche altro tipo.
In una teoria di campo, la dinamica dei campi ϕ e` determinata da un
funzionale d’azione S
S =
∫
M
L (ϕ(x)) (1.1.1)
dove x ∈M e ϕ(x) ∈ F .
La densita` di lagrangiana L e` una funzione di ϕ(x) e delle sue derivate.
Per un modello σ non lineare con campi scalari, l’azione vale (per un fibrato E
banale, cioe` E = M × F )
S = −1
2
∫
dDx gij(ϕ)∂aϕi∂aϕj (1.1.2)
usando la notazione ∂a ≡ ∂/∂xa con a = 1, . . . , D. La forma controvariante
della derivata ∂a e` ottenuta con la metrica di Minkowski ∂a = ηab∂b
Una qualunque teoria di campo classica che abbia l’azione della stessa forma
di quella in (1.1.2) e` un modello σ non lineare. La classe di tali modelli e`,
pertanto, vastissima, e l’elemento che la caratterizza e` la presenza della metrica,
che determina una lagrangiana puramente cinetica.
Analogia con la meccanica dei continui La densita` di lagrangiana
data in (1.1.2) presenta analogie con la nozione di tensore di deformazione che
si incontra nella meccanica del continuo. Anche in questo caso, consideriamo
l’esistenza di due spazi, uno spazio B detto corpo, i cui punti sono parametrizzati
dalle coordinate xa, e chiamate coordinate lagrangiane, e lo spazio euclideo E,
lo spazio fisico reale, le cui coordinate sono dette coordinate euleriane. Una
qualunque configurazione del corpo e` assegnata tramite una famiglia di mappe
ϕ : B → E
yi = ϕi(xa), x ∈ B, y ∈ E (1.1.3)
Per avere informazioni sulla deformazione di un corpo si considera la distanza
nello spazio fisico
ds2 = gij(y)dyidyj (1.1.4)
e si opera il pull-back nel corpo
G∗(g)ab = gij(ϕ)
∂ϕi
∂xa
∂ϕj
∂xb
dxadxb (1.1.5)
che ha la stessa forma della densita` di lagrangiana di un modello σ non lineare.
Equazioni di campo Le equazioni di campo che esprimono le conzioni di
stazionarieta` del funzionale d’azione di (1.1.2) rispetto alle variazioni di ϕ sono
∂a∂aϕi + Γijk∂aϕj∂aϕk = 0 (1.1.6)
dove Γijk sono i simboli di Christoffel costruiti con la metrica g sulla fibra F ,
secondo la nota formula di geometria differenziale
Γijk =
1
2
gim
(
∂gmj
∂xk
+ ∂gmk
∂xj
− ∂gjk
∂xm
)
(1.1.7)
2

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Geometria generalizzata e Modelli Sigma Non Lineari

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Informazioni tesi

  Autore: Matteo Casati
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2007-08
  Università: Università degli Studi di Milano - Bicocca
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Scienze e tecnologie fisiche
  Relatore: Franco Magri
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 86

FAQ

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Parole chiave

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geometria
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teorie di campo

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