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Soluzione numerica dell'equazione biarmonica per una lastra elastica: figure di Chladni

Informazioni tesi

  Autore: Andrea Boscarino
  Tipo: Laurea liv.I
  Anno: 2010-11
  Università: Università degli Studi di Catania
  Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
  Corso: Fisica
  Relatore: Giuseppe G.N. Angilella
  Lingua: Italiano
  Num. pagine: 47

In questo lavoro si è affrontato il problema dei modi di vibrazione in una lastra elastica non vincolata di forma quadrata e rettangolare, che è equivalente a risolvere l’equazione agli autovalori dell’operatore biarmonico nel dominio considerato.
Nel primo capitolo sono ricavate le condizioni di equilibrio in un corpo solido, che si possono esprimere tramite l’equazione biarmonica come formulò per la prima volta Kirchhoff nel 1850.
La risoluzione viene effettuata numericamente tramite un algoritmo iterativo che si basa su una variante del metodo delle potenze. Esso permette di determinare gli autovalori e le autofunzioni dell’equazione. Nell’algoritmo, l’equazione biarmonica viene integrata con un particolare tipo di trasformata di Fourier discreta, utile nel caso di condizioni al contorno omogenee.
Parallelamente allo studio teorico, vengono ricavate sperimentalmente alcune figure dei nodi delle autofunzioni, chiamate figure di Chladni, in una tavola rettangolare non vincolata con un piccolo apparato sperimentale composto da una tavola di legno e da un piccolo altoparlante collegato ad un generatore di frequenze. Sopra la tavola vengono cosparse delle piccole foglie di the che, al variare della frequenza che stimola la vibrazione della tavola, si dispongono in modo da formare le figure di Chladni.
Nel confronto dei dati, si è osservata una buona correlazione tra le figure ottenute sperimentalmente e le linee nodali delle autofunzioni calcolate numericamente, tenendo conto delle approssimazioni fatte per descrivere l’esperimento con il modello usato. Infine, vengono considerati i rapporti tra la k-esima autofrequenza e la fondamentale, sia per le frequenze ottenute numericamente, che per quelle sperimentali relative alle figure che hanno prodotto. Dal confronto di questi due rapporti si evince anche in questo caso una discreta correlazione, che dimostra la fondatezza del metodo utilizzato per descrivere i modi di vibrazione di una lastra rettangolare non vincolata.

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  Anno: 2010-11
  Università: Università degli Studi di Catania
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  Lingua: Italiano
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Introduzione Nel febbraio del 1809, a Parigi, una carrozza si ferm` o davanti a Tuilerie Palace, residenza ufficiale dell’imperatore Napoleone Bonaparte. I pas- seggeri erano il matematico Pierre-Simon Laplace, il chimico Claude LouisBertholet, ilbiologoLaC´ ep` edeedilfisicoErnstFlorensFriedrich Chladni. Napoleone aveva chiesto a quest’ultimo, tramite Laplace, una dimostrazione del suo affascinante esperimento, che produceva delle suggestive figure facendo vibrare delle lastre con della sabbia sparsa sopra, oggi note come figure di Chladni. [1][2] Il fisico tedesco nacque a Wittenberg nel 1756 da una famiglia ab- bastanza agiata. Sotto pressione del padre, rettore dell’universit` a di Wittenberg, si iscrisse allafacolt` adi legge dov’era tenuto sotto control- lo dal genitore. Nel 1778, cercando di sfuggire alla sfera d’influenza del padre,sitrasfer` ıall’universit` adiLeipzigdovetermin` oglistudinel1782 con una tesi in filosofia e una in legge. Dopo essere tornato a Witten- berg, la morte del padre, avvenuta sempre nel 1782, segn` o l’inizio della sua indipendenza. Anzich´ e iniziare l’attivit` a giuridica che gli avrebbe assicurato un lavoro stabile, decise di dedicarsi interamente allo studio delle scienze naturali. Il suo principale campo d’interesse erano le vi- brazioni di barre e lastre, e su questo argomento fece la scoperta per la quale viene ricordato. Ispirato dall’esperimento di Lichtenberg, che aveva reso visibili le tracce di una scarica elettrica con della polvere, prov` o a strofinare una lastra d’ottone circolare cosparsa di sabbia con I

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Parole chiave

acustica
chaldni
equazione biarmonica

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