Fluidi a riposo

Tutti gli appassionati di sport subacquei sanno che la pressione aumenta con la profondità al di sotto della superficie di separazione aria-acqua. Mentre, tutti gli alpinisti sanno che la pressione diminuisce con l'altezza quando si sale nell'atmosfera. Vediamo dapprima l'aumento della pressione con il crescere della profondità sotto la superficie dell'acqua. Chiamiamo y l'asse verticale con origine sulla superficie di separazione aria-acqua e orientato verso l'alto. Consideriamo un campione di acqua contenuto in un ipotetico cilindro circolare retto con sezione di base A, e siano y1 e y2 (entrambe quantità negative) le profondità rispettivamente della faccia superiore e inferiore del cilindro immerso.  Il campione d'acqua è in equilibrio statico; tre sono le forze che agiscono sul cilindro: la forza gravitazionale (verso il basso), Fg=mg, ove m è la massa del cilindro d'acqua; la forza F2 che agisce verso l'alto sulla faccia inferiore del cilindro; la forza F1 che agisce verso il basso sulla sua faccia superiore. L'equilibrio di queste forze dà:
F2 = F1+mg
Ci interessa che in questa relazione compaia la pressione. Quindi trasformiamola con l'equazione p=F/A e otterremo:
F1 = p1A   e   F2=p2A
La massa contenuta nel cilindro è, dalla ρ=m/V, m=ρV, in cui il volume V del cilindro è A(y1-y2). Quindi la massa m dell'acqua nel cilindro è ρA(y1-y2). Sostituendo questa espressione assieme alle equazioni precedenti nell'equazione F2=F1+mg, si ottiene:
p2A = p1A+ρAg(y1-y2)    
ovvero:                                                 
p2 = p1+ρg(y1-y2)
Quest'espressione è valida sia per i liquidi (in funzione della profondità) sia per l'atmosfera (in funzione dell'altitudine) Per i primi se cerchiamo la pressione p alla profondità h al di sotto di questa, poniamo il livello 1 alla superficie e il livello 2 alla profondità h al di sotto di questa. Chiamando p0 la pressione atmosferica vigente in superficie, operiamo le sostituzioni:
y1=0,   p1=p0,   e   y2=-h,   p2=p
Quindi l'equazione precedente diventa:        
p = p0+ρgh
Come abbiamo detto l'equazione p2 = p1+ρg(y1-y2) è applicabile anche sopra la superficie del liquido. Per esempio per trovare la pressione atmosferica ad altezza d sopra il livello1 sostituiamo:
y1=0,   p1=p0   e   y2=d,   p2=p
posto ρ=ρaria si ottiene:                               
p = p0-ρariagd