Lavoro svolto da una forza elastica

F=-Kd  (F=-Kx)
che è nota come legge di Hooke. La costante K è chiamata costante elastica ed è una misura della rigidità della molla. L'unità di misura SI per K è il Newton al metro (N/m). Per trovare un espressione del lavoro svolto da una forza elastica supponiamo di spostare il blocco verso destra con una forza brusca mettendolo in moto e poi lasciandolo andare. Man mano che il blocco si sposta verso destra la forza di richiamo F compie lavoro sul blocco, lo rallenta e ne riduce l'energia cinetica. Quindi la forza non è costante e per questo dobbiamo rivolgerci all'analisi matematica. Sia la posizione iniziale del blocco xi e quella finale xf. Dividiamo la distanza tra queste due posizioni in molti segmenti, ciascuno di lunghezza Δx. Nel moto del blocco per l'intera lunghezza di un segmento la forza elastica varia di così poco da poter essere considerata costante. Ora poiché si considera costante la forza, possiamo applicare l'equazione L=Fdcosθ a ciascun segmento per trovare il lavoro. Nel nostro caso, θ è sempre uguale a 0 e quindi cosθ vale sempre 1. Perciò il lavoro svolto nel segmento 1 è F1Δx, quello relativo al segmento 2 è F2Δx e così via. Il lavoro complessivo Lm svolto dalla molla sull'intero percorso da xi a xf è la somma di tutti questi lavori elementari:  Lm=∑FjΔx
ove il pedice j rappresenta un generico segmento. Facendo tendere Δx a zero, l'equazione precedente assume la forma: Lm=∫xixfFdx
e sostituendo a F l'espressione F=-Kx, si ottiene:
L=∫xixf(-Kx)dx=-K∫xixfxdx=(-1/2K)[x2]xixf=(1/2K)(xf2-xi2)
ovvero: Lm=1/2Kxi2-1/2Kxf2 (lavoro compiuto dalla forza elastica)
A questo punto se xi=0 e se chiamiamo x la posizione finale, l'equazione precedente diventa:
L=-1/2Kx2