Costruzione di portafoglio basata sullo studio dei momenti di ordine superiore al secondo e sull'utilizzo di multivariate generalized hyperbolic distributions per la simulazione dei rendimenti: un'analisi empirica

Lo spunto da cui nasce la mia idea deriva dal fatto che la costruzione di molti dei modelli a supporto dell’attività di asset allocation risulta spesso fondata sull’ipotesi di distribuzione gaussiana dei rendimenti. Questa condizione, tuttavia, è stata ormai ampiamente rigettata dalla letteratura finanziaria grazie a numerosi contributi, in quanto l’evidenza empirica ha dimostrato che le serie storiche finanziarie sono molto spesso caratterizzate da fenomeni di asimmetria non nulla e leptocurtosi. Rappresentare un indice finanziario tramite una distribuzione Normale, quindi, può condurre ad imprecisioni nella quantificazione del rischio sottostante, poiché si sottovaluterebbe la frequenza probabilistica delle realizzazioni estreme del campione.
Lo scopo di questo lavoro è proporre un metodo di costruzione di portafoglio basato sul superamento della condizione di normalità dei rendimenti. Il framework di riferimento è costituito dal modello del Resampling (ricampionamento), un procedimento che presenta importanti caratteristiche di robustezza. La necessità di integrare il metodo del Resampling con la condizione di non normalità dei rendimenti mi ha spinto a proporre soluzioni personali sia in sede di simulazione degli scenari di rendimento, che in sede di ottimizzazione quadridimensionale rispetto ai valori di mean-variance-skewness-kurtosis di portafoglio.
Per quanto riguarda la prima fase di simulazione degli scenari, il problema di trovare modelli probabilistici in grado di considerare gli higher moments della distribuzione è stato affrontato ricorrendo alle distribuzioni della classe iperbolica (multivariate generalized hyperbolic distributions). In particolare, tramite il calcolo della log-likelihood associata ad ogni modello, è stato dimostrato che l’adattamento migliore al campione fosse offerto dal modello specifico di multivariate normal inverse gaussian (MNIG). Per la stima dei parametri ho seguito un procedimento noto con il nome di algoritmo EM (expectation-maximization), che permette di calcolare la soluzione tramite un metodo iterativo di massima verosimiglianza.
Con riguardo alla fase di ottimizzazione, quindi, è stato necessario produrre un set di portafogli efficienti all’interno di ogni scenario simulato. Il problema richiedeva l’utilizzo di una funzione di ottimizzazione con obiettivi multipli simultanei. In questo caso mi è sembrato adeguato il ricorso al metodo del Polynomial Goal Programming (PGP). La complicazione deriva dal fatto che il PGP offre una soluzione unica al problema di ottimizzazione, mentre nella mia analisi era richiesta la produzione di un set di portafogli efficienti, associati a livelli di rendimento crescenti. Per far fronte a questo problema ho agito fissando obiettivi di rendimento crescenti all’interno di un intervallo uniforme, e lanciando una ottimizzazione PGP per ognuno di questi obiettivi. Dato che il livello di rendimento è fissato, in questo caso l’ottimizzazione lavora rispetto alle tre variabili di portafoglio residue: variance, skewness e kurtosis.
La derivazione della frontiera ricampionata, in analogia con il modello Resampling, è risultata tramite il calcolo della composizione media di tutti i portafogli relativi allo stesso rank. Data l’impossibilità di rappresentare figure quadridimensionali, la frontiera ricampionata è disegnata su un piano tridimensionale, quindi sono state considerate tre variabili per volta.